\documentclass{hyperannales}

%% LE TITRE
\titre{Baccalauréat STI}{2002}{%
Génie des matériaux\\
Génie mécanique B, C, D, E}
\auteur{Y.Moncheaux}


\begin{document}

\section{EXERCICE 1 (5 points)}

\pagedissolve{R /D 0}

Soit $f$ la fonction numérique définie, pour tout nombre réel $x$, par $f(x)=4x^3-8x^2-x+2$.
\qstssq Montrer que 2 est une solution de l'équation $f(x)=0$.\aide{\techalg sol-eq}
\ssq Déterminer trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout $x$ de \R :\aide{\techalg identif}
\[f (x)= (x - 2)(a x^2 + b x + c).\]
\ssq Résoudre dans \R l'équation $f (x) = 0$.\aide{\techalg eqprod}

\qst En utilisant les résultats de la question 1), résoudre dans \R chacune des équations
	suivantes :
\ssq $4\ln^3x-8\ln^2x-\ln x+2=0$.\aide{\techalg chg-inc}
\ssq $4{\rm e}^{2x}-8{\rm e}^x-1+\dfrac{\strut 2}{{\rm e}^x}= 0$.\aide{\techalg chg-inc}


%\pagedissolve{/Split}


\vskip 1.5cm\numqst 1
\section{EXERCICE 2 (5 points)}
i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.\\
On considère les trois nombres complexes :
\[z_1=2\sqrt{3}\left (\cos\dfrac{\pi}{6}+\text{i}\sin\dfrac{\pi}{6}\right )\ ;\ z_2 = 4\ ;\ 
z_3= 2\left (1 + {\rm e}^{4\text{i}\frac{\pi}{3}}\right ).\]

On appelle $M_1$, $M_2$ et $M_3$ leurs images respectives dans le plan complexe (P) rapporté au
repère orthonormal $(O,\,\vec u,\,\vec v)$ (Unité graphique : 1 cm).

\qst Calculer la partie réelle et la partie imaginaire de $z_1$ et de $z_3$.\aide{\techcom ree-img}
\qst Placer les points $M_1$, $M_2$ et $M_3$ dans le plan (P).%\aide{}
\qstssq Calculer sous forme trigonométrique les nombres complexes :\\
$z_1-2$~~;~~$z_2-2$~~;~~$z_3-2$.\aide{\techcom form-tri}
\ssq En déduire que les trois points $M_1$, $M_2$ et $M_3$ sont situés sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.\aide{\techcom geom}
\qst Montrer que le triangle $M_1M_2M_3$ est rectangle.\aide{\techcom geom}


\numqst1
\section{PROBLEME (10 points)}
Le but de ce problème est l'étude de la conception, des caractéristiques et de la commercialisation d'une bobine de fil.

\bigskip
\textbf{Partie A : Détermination d'une fonction $\boldsymbol{f}$ nécessaire à la conception d'une bobine.}

Soit $f$ la fonction numérique définie, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0 , 4],\\
par $f(x)=ax^2+bx+c$.\\
Soit $(C)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal $(O,\,\vec\imath,\,\vec\jmath)$ (unité graphique 1~cm).

On impose les conditions suivantes :
\(
\left \{
\begin{array}{l}
\bullet\ f(0)=2\\
\bullet\ f(2)=1\\
\bullet\ \textit{La courbe (C) admet en son point d'abscisse 2}\\
\textit{une tangente parallèle à l'axe des abscisses.}\\
\end{array} 
\right .
\)


\qst Calculer $a$, $b$ et $c$ pour que les trois conditions précédentes soient remplies et 
en déduire que pour tout $x$ de l'intervalle [0 , 4],
$f(x)=\dfrac{1}{4}\,x^2-x+2$.\aide{\techana trv_fonc}
\qst Montrer que la fonction $f$ admet sur [0 , 4] un minimum que l'on précisera.\aide{\techana extremum}
\qst Construire la courbe (C) dans le repère $(O,\,\vec\imath,\,\vec\jmath)$.\aide{\techana const_crb}


\def\aide{}


\newpage\numqst1
\textbf{Partie B : Conception et étude des caractéristiques de la bobine.}

Soit $\Delta$ la partie du plan limitée par la courbe $(C)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=4$. La rotation de la partie $\Delta$ autour de l'axe des abscisses engendre un solide $(B)$. Ce solide est la bobine ci-dessous dessinée (fig.1).


\hfil
\begin{minipage}{5cm}
\begin{pdfpic}
\TeXtoEPS
\psset{unit=5mm}
\begin{pspicture}(11,10)
\psccurve(1.5,0.7)(0,5)(2,9.5)(4,8.5)(5.5,7.6)(7,7.8)(9,8.9)(9.5,9)(11,5)(9,0)(8.5,0.3)(5.5,2)
\pscurve[linestyle=dashed](1.5,0.7)(2,1)(3,3)(3.5,5)(3,9)(2,9.5)
\pscurve(9,0)(8.5,0.3)(8,1.2)(7.3,3)(7.2,5)(7.5,6)(8,7.5)(8.2,7.8)(9,8.9)(9.5,9)
\end{pspicture}
\endTeXtoEPS
\end{pdfpic}
\end{minipage}
\hfil
\begin{minipage}{5cm}
\begin{pdfpic}
\TeXtoEPS
\psset{unit=5mm}
\begin{pspicture}(11,10)
\pscurve(1.5,0.7)(1,1)(0,5)(1,8.5)(2,9.5)
\pscurve[linestyle=dashed](2,9.5)(4,8.5)(5.5,7.6)(7,7.8)(9,8.9)(9.5,9)
\pscurve[linestyle=dashed](9,0)(8.5,0.3)(5.5,2)(1.5,0.7)
\pscurve[linestyle=dashed](1.5,0.7)(2,1)(3,3)(3.5,5)(3,9)(2,9.5)
\psccurve(9,0)(8.5,0.3)(8,1.2)(7.3,3)(7.2,5)(7.5,6)(8,7.5)(8.2,7.8)(9,8.9)(9.5,9)(11,5)
\psline(1.5,0.7)(9,0)
\psline(2,9.5)(9.5,9)
\end{pspicture}
\endTeXtoEPS
\end{pdfpic}
\end{minipage}

\hfil
fig. 1 : bobine sans fil
\hfil
fig. 2 : bobine avec fil
\hfil



\qstssq Hachurer la partie $\Delta$ sur le graphique.\aide{}
\ssq Vérifier que, pour tout $x$ de \R, $[f(x)]^2=\dfrac{1}{16}\,x^4-\dfrac{1}{2}\,x^3+2x^2-4x+4$.
\ssq En déduire la valeur exacte en cm$^3$ du volume V$_1$ de la bobine sans fil.
(On rappelle que : $V_1=\pi\int_0^4[f(x)]^2\,{\rm d}x$).\aide{}

\qst Lorsque le fil est placé sur la bobine, l'ensemble " bobine avec fil " est assimilé à un cylindre (voir fig. 2).
\ssq Calculer la valeur exacte, en cm$^3$, du volume V$_2$ de ce cylindre.
\ssq En déduire la valeur exacte, en cm$^3$, du volume V occupé par le fil sur la bobine.

\qst Le fabricant affirme que la bobine ainsi constituée contient 200 m de fil cylindrique de diamètre 0,4 mm.\\
Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?

\bigskip
\numqst1
\textbf{Partie C : Commercialisation des bobines.}

A l'issue de la fabrication, une bobine de fil peut présenter 0, 1, 2 ou 3 défauts.\\
90 \% des bobines de fil ont 0 défaut.\\
5 \% des bobines de fil ont 1 défaut.\\
3 \% des bobines de fil ont 2 défauts.\\
2 \% des bobines de fil ont 3 défauts.

\qst On choisit au hasard une bobine de fil. Calculer la probabilité pour qu'elle présente au plus un défaut.\aide{}

\qst Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque bobine de fil choisie au hasard associe le nombre de ses défauts.
\ssq Définir à l'aide d'un tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.\aide{}
\ssq Calculer l'espérance mathématique $E(X)$ et donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de l'écart type $\sigma(X)$ de la variable aléatoire $X$.\aide{}

\qst Le prix de vente d'une bobine de fil dépend du nombre de défauts qu'elle présente comme l'indique le tableau suivant :\\[2ex]
\begin{tabular}{|l|p{20mm}|p{20mm}|p{20mm}|p{20mm}|}\hline
Nombre de & \centering 0 & \centering 1 & \centering 2 & \centering 3\cr
défauts&&&&\\\hline
Prix (en euros) & \centering 5 & \centering 3 & \centering 2 & \centering 1\cr\hline
\end{tabular}\\[2ex]
Soit $Y$ la variable aléatoire qui à chaque bobine de fil choisie au hasard associe son prix. 
\ssq Définir la loi de probabilité de la variable aléatoire $Y$.\aide{}
\ssq Calculer l'espérance mathématique $E(Y)$ de $Y$. Que représente $E(Y)$ ?\aide{}


\section{Consignes officielles}
\backgroundcolor{white}
\textbf{Durée de l'épreuve : 4 heures}

\textbf{Coefficient : 4}

\textbf{Séries concernées :}

~~~~~\textbf{- Génie mécanique options :}\par
~~~~~~~~~\textbf{Systèmes Motorisés (B), Structures Métalliques (C),}\par
~~~~~~~~~\textbf{Bois et Matériaux Associés (D), Matériaux Souples (E),}\par
~~~~~\textbf{- Génie des Matériaux.}

\medskip
Dès que le sujet vous est remis assurez vous qu'il est complet, que toutes les pages sont imprimées.

\bigskip
L'usage des calculatrices est autorisé pour cette épreuve.\\
Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.\\
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.

\bigskip
Le formulaire officiel de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.\\
Le sujet nécessite deux feuilles de papier millimétré.


\end{document}